明地球是圆的办法

你如何才能知道你所处的星球看上去像什么？一种方法是发展太空计划，发送飞船，并从远处拍摄星球的照片。只有极少数的人带着相机离开过这个星球的表面在太空中看过它，然后他们告诉我们：我们的星球看起来像一个球体。但是如果他们是在说谎呢？而最近的一篇文章表明，如果一个全球性的阴谋需要由所有的空间机构，宇航员和行星科学家来共同维系，这将是非常困难的，因此我们不必认为他们在欺骗我们。   除了发展太空计划之外，有一个从数学上讲非常聪明，但不太可能进行实际操作的方法来算出我们所生活的星球的表面究竟是什么曲面：那就是使用欧拉示性数（这是众多以莱昂哈德·欧拉的名字命名的词条之一）。人类知道地球是球体远远早于太空计划，甚至哥伦布都知道地球是一个球体。因此，地球是球体这个结论不是因为太空计划而得出来的。   就像年龄一样，欧拉示性数只是一个数字。对于一个二维曲面如一个盒子，沙滩排球，或星球而言，它是该对象的顶点数减边数加面数，或者用公式表示：V-E+F。我们将从一个简单的例子开始，一个正方体。正方体有8个顶点，12条边，和6个面，所以最终可得8-12+6=2。 那如果是一个球体呢？在这里，没有现成的顶点和边。我们必须把它们画出来。一个方法是在地球仪上画出赤道和一些经线。或者，如果你身边没有地球仪，那就用个柚子，然后绑上橡皮筋。   因为我没有球形摄像机，所以如果你自己没有柚子，那么你就听我说吧，这些橡皮筋在相交处共产生了6个顶点，12条线段，以及8个三角形，因此它对应的欧拉示性数为6-12+8=2（这些数字看起来和正方体的那些很像。你知道这是为什么吗？）。 在你们准备实施这样的计算前，总会有因为需要做出选择而带来的不确定性。我们所面临的选择是在柚子上如何绑这些橡皮筋。不同的绑法会不会导致不同的计算结果？这一次我将使用四根橡皮筋。   现在它有10个顶点，21条边，以及13个面，我们再来算一下，10-21+13=2。   事实上，不论我们如何通过画线或者绑橡皮筋来分割球面，我们最终都会得到欧拉示性数为2这个结果。当然你可以不相信我的话。虽然一个严密的证明对你来说可能过于复杂，但是你可以很容易地通过自己的涂鸦来确信这点。随意画一个形状，在里面随意画一些顶点和边，然后再随意添加一个顶点和一些边，欧拉示性数有没有发生变化？擦去一条边，又会发生什么变化？   欧拉示性数是一个拓扑不变量，这意味着拉伸或挤压不会改变它，只撕裂或粘合可以。现在欧拉示性数，可以用来确定一个曲面的拓扑形状，但却不能用来确定它更精细的特征。例如，正方体，球体，四面体，以及其它像它们这样的封闭形状都有相同的欧拉示性数因为他们都是拓扑等价（注：“拓扑等价”用拓扑学术语来说，就是“同胚”）的。   如果你是一个对科学好奇的人，却没有机会进入太空去看地球，同时你又不想迷信于古代科学家或美国航空航天局的话，你可以利用欧拉示性数来确定地球的拓扑形状。你所需要的仅仅是几个朋友和一堆绳子。让他们每个人都站在地球的某处，每个人都拉住几根绳子的一端。现在你需要做的就是数数有多少个人（注：对应于顶点数），有多少根绳子（注：对应于边数），以及有多少个被那些绳子分割成的区域（注：对应于面数）。然后算一下欧拉示性数，V-E+F。   如果你得到的是2，那恭喜你。因为在拓扑意义下，欧拉示性数为2的曲面只有球面。   如果你得到的不是2，那么可能是你算错了。现在让我们假设你是在一个陌生的星球上，其拓扑形状还不知道。该星球的一些其它特征将有助于你确定它的表面究竟是何种曲面。   首先，它是有限的吗？或者，即使是沿着同一个方向走，也永远走不到底？如果它是无限的，你就无法把它分为有限个有限的部分，并因此无法计算欧拉示性数，如果是这种情况，那你是不幸的。因此我们将假设所有的情况都是有限的。   接着，我们来考虑可定向性。莫比乌斯带是最著名的不可定向曲面：如果你从它的边界附近的某个点出发，沿着边界一直走（注：始终不跨越边界），你最终会回到你出发的那一点，唯一的不同是：此时你在莫比乌斯带的另一边。如果你是在可定向曲面上，你知道它具有内外（注：也可能是“上下”或“左右”或类似地其它的）之分；这将导致当你回到出发点时，你永远不会出现上下颠倒的情况。不论你所在的星球是否是可定向的，都可以使用欧拉示性数来确定它的拓扑形状。   最后，我们来考虑边界。你觉得你可以从它的边缘（注：如果存在的话）走出去吗？如果可以的话，有多少彼此分开的这样的边缘？可能只有一个也可能有多个。也许你有理由相信它的形状像一个平环（注：对应于恰有2个分开的边缘）或字体变胖了的“8”（注：对应于恰有3个分开的边缘）。   可定向的情况下，欧拉示性数以及边界的分支数（注：“边界的分支数”为拓扑学术语，可认为即上节中“彼此分开的边缘数”）可以唯一确定你所在的星球表面是何种曲面。如果欧拉示性数是2，你可以确定你是在球面上。增加一个边缘将导致欧拉示性数减少1，所以如果欧拉示性数是1，你就是在有1个洞的球面上，同时它是与平面多边形拓扑等价的。如果欧拉示性数是0，你可能生活在一个环面，或一个平环上。   当你知道了你所处的星球看起来像何种拓扑形状之后，接下来你可以试图找出它的几何形状。如果欧拉示性数是2，你可以试着确定你是否生活在球体，正方体，足球，或其它一些奇怪的形状的表面上。在这里欧拉示性数就帮不了你了。我建议你从埃拉托斯特尼（Eratosthenes）以及其他古代天文学家那里吸取经验，用影子来研究地球在每一特殊的点处是如何弯曲的。爱萨恩·西格尔（Ethan Siegel）会告诉你关于这些的一切。   致谢：我第一次接触到“使用欧拉示性数来确定星球的拓扑形状”这个想法，是在我的朋友、犹他大学的数学家凯文·沃特曼（Kevin Wortman）的一次演讲中。B.o.B.以及Neil deGrasse Tyson激励我完成了本文的写作。   *为回应评论，我需要说明一下，你围起来的区域，中间不能有洞。也就是说，它们应该像盘子，而不是平环。用专业术语来说就是“单连通”。确保每个区域都是“单连通的”的一个方法是把曲面分割成一个个三角形（注：用专业术语来说就是“三角剖分”曲面）。