“韩信点兵”里的数学智慧 - 未命名

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简介：秦朝末年，楚汉相争。有一次，韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是，韩信整顿兵马也返回大本营。当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。只见

秦朝末年，楚汉相争。有一次，韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是，韩信整顿兵马也返回大本营。当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。只见远方尘土飞扬，杀声震天。汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。韩信兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。韩信马上向将士们宣布：我军有1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。汉军本来就信服自己的统帅，这一来更认为韩信是“神仙下凡”、“神机妙算”。于是士气大振。一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步逼近，楚军乱作一团。交战不久，楚军大败而逃。

算法：

　　1.先算3、5、7的最小公倍数3*5*7=105

　　2.再算符合除以3余2，除以5余3，除以7余2的最小值

　　除以3余2的数：5， 8， 11， 14， 17， 20， 23， 26…

　　除以5余3的数：8， 13， 18， 23， 28…

　　除以7余2的数：9，16，23，30…

　　由上得出除以3余2，除以5余3，除以7余2的最小值为23

　　3.韩信原有1500名士兵，苦战一场死伤四五百。现剩余士兵应在1000-1100之间，并且现存的士兵数应可以被105整除并且余数是23.所以现存士兵数应该是105×10+23=1073人。

中国有一本数学古书《孙子算经》也有类似的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”

答曰：“二十三。”

术曰：“三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之剩一，则置七十，五五数之剩一，则置二十一，七七数之剩一，则置十五，即得。”

什么意思呢？用现代语言说明这个解法就是：

首先找出能被5与7整除而被3除余1的数70，被3与7整除而被5除余1的数21，被3与5整除而被7除余1的数15。如果所求的数被3除余2，那么就取数70×2＝140，140是被5与7整除而被3除余2的数。如果所求数被5除余3，那么取数21×3＝63，63是被3与7整除而被5除余3的数。如果所求数被7除余2，那就取数15×2=30，30是被3与5整除而被7除余2的数。

140＋63＋30=233，由于63与30都能被3整除，所以233与140这两数被3除的余数相同，都是余2，同理233与63这两数被5除的余数相同，都是3，233与30被7除的余数相同，都是2。所以233是满足题目要求的一个数。 105是3、5、7的公倍数，前面说过，凡是满足233加减105的整数倍的数都是符合题意的，因此依定理译成算式解为：

　　70×2＋21×3＋15×2＝233

　　233－105×2＝23

这就是有名的“中国剩余定理”，或称“孙子定理”，它和韩信点兵是一个道理。

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