无处不在的兔子数列

兔子数列，又名斐波那契数列或黄金分割数列，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……即从第三项开始，每个数都是它前面的两个数的和，在很多的领域都有直接的应用，在奥数中更是如此，一二三四五年六级的奥数中都会以不同的形式出现！还有一个与它相似的数列——卢卡斯数列1、3、4、7、11、18…，也具有斐波那契数列同样的性质。（我们可称之为斐波那契—卢卡斯递推：从第三项开始，每一项都等于前两项之和f(n) =f(n-1)+ f(n-2））。   二、三个不同名字的由来： 兔子数列：意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例子引入，故又称为“兔子数列” 斐波那契数列：斐波那契数列的发现者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（LeonardoFibonacci），生于公元1170年，卒于1250年，籍贯是比萨。 黄金分割数列：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887..…   三、常见题目 1、一二年级奥数中兔子数列的常见题目是：

• 找规律填空：1，1，2，3，5，8，（ ），21，34，（ ），89

【解析】           13，55  

• 假定一对刚出生的小兔一个月能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小兔。如果一切正常没有死亡，公母兔也比例适调，那么一对刚出生的兔子，一年可以繁殖成（）对兔子。
• 【解析】           1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144 ，则共有144对兔子    

2、三四年级奥数中兔子数列的常见题目是：  

• 有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨一级或两级，要登上第10级台阶有几种不同的走法?

【解析】           这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法……1，2，3，5，8，13……所以，登上十级，有89种走法。   （巩固）一枚均匀的硬币掷10次，问不连续出现正面的可能情形有多少种？ 解决：掷一次有2种情况，掷二次有3种情况，掷三次有5种情况...掷10次有144种情况。  

• 在杨辉三角中隐藏着斐波那契数列

（2014年第十四届三年级中环杯决赛12题）将杨辉三角形靠最左边的数字对齐排列成下列形式： 斜线方向用箭头连接的一排数字我们称之为对角线，例如第一条对角线为“1←→1 ”，第二条对角线为“1←→2”，第三条对角线为“1←→3←→1”。请问：第13条对角线上所有的数字之和为多少？ 【解析】           和为斐波那契数列的一部分，依次为：2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，故答案为610   3、五年级奥数中兔子数列的常见题目是：

• 用1*2的格子覆盖一个2*10的格子，有几种摆放方法呢？

• 三角形的三边关系定理和斐波那契数列：现有长为144cm的铁丝，要截成n小段（n>2），每段的长度不小于1cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为多少？

【解析】           由于形成三角形的充要条件是任何两边之和大于第三边，因此不构成三角形的条件就是存在两边之和不超过另一边。截成的铁丝最小为1，因此可以放2个1，第三条线段就是2（为了使得n最大，因此要使剩下来的铁丝尽可能长，因此每一条线段总是前面的相邻2段之和），依次为1、1、2、3、5、8、13、21、34、55，以上各数之和为143，与144相差1，因此可以取最后一段为56，这时n达到最大为10。   （2014年第十二届五年级小机灵杯决赛13题）现有91根小棒，长度分别为1cm，2cm，3cm，4cm，…，91cm，从中至少选出________ 根小棒就一定能围成一个三角形。 【解析】           当取1 cm、2 cm、3 cm、5 cm、8 cm、13 cm、21 cm、34 cm、55 cm、89 cm这个斐波那契数列时，任意三根都不可以围成三角形，再多取一根则必定有三根可以围成一个三角形，故答案为10+1=11根   4、六年级奥数中兔子数列的常见题目是：

• （2009年走美初赛六年级）有一串数：1，1，2，3，5，8，……，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有几个是5的倍数？

【解析】           由于两个数的和除以5的余数等于这两个数除以5的余数之和再除以5的余数． 所以这串数除以5的余数分别为：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2，3，0，…… 可以发现这串余数中，每20个数为一个循环，且一个循环中，每5个数中第五个数是5的倍数． 由于2009/5=401……4，所以前2009个数中，有401个是5的倍数．  

• 在圆和扇形一章，常需要求如图的组合图形的周长或面积，而每个正方形的边长恰好是由斐波那契数列构成的