独立性证明的有趣故事

市里发生一起凶杀案，警方断定：

1. 凶手是男性
2. 受害者是女性
3. 凶手做案之前有大量饮酒
4. 凶手用双手掐死了受害者

受害者的丈夫在案发现前和受害者有过激烈争吵，并且案发时就在案发现场附近。由于是健美教练，有足够的手力掐死一名成年女生。并且，有很多案件，在夫妻发生激烈冲突后发生的。于是被控方锁定为重大嫌疑人。 受害者的丈夫的律师却说：另外一个城市，也是相同情况，但受害人是被一个流窜作案的流动人员杀害的，所以现有证据无法证明嫌疑人就是凶手。 当然，目前为止，也无法证明嫌疑人是凶手。 所以，控辩双方都要继续找证据，来证明他们相要的结果。 其实，数学公理就是“证据”。这种“证据”是一个要求人们先接受，而无需证明的一些命题。至于，为什么要接受，或是因为生活经验，或是因为某些实验结果，再或没有任何理由，反正先接受。但接受的东西之间不能有矛盾的地方。比如，下面一串的东西，不能看成公理。

1. 世界中存在两个人类小明和小红
2. 小明是男人
3. 小红是女人
4. 小明与小红是相同性别的
5. 男女是两个不同性别

我们再来说一个数学的例子，高等代数中学过数域的定义，我们把这些定义的条件看成公理吧。一个实数子集FF，满足就是下面几条公理，就称为数域(简单起见，我们只在实数上讨论)。

1. 1∈F1∈F
2. 如果a,b∈Fa,b∈F，则a+b∈Fa+b∈F
3. 如果a,b∈Fa,b∈F，则ab∈Fab∈F
4. 如果a,b∈Fa,b∈F，则a−b∈Fa−b∈F
5. 如果a,b∈Fa,b∈F，b≠0b≠0，则a/b∈Fa/b∈F

那么，对于一个数域FF，由这几条公理(加上默认的一些公理，比如实数完备性的公理)，是否能推导出x2=2x2=2在FF上有解？我们说，不能，因为如果我们让FF为有理数集的时候，有理数集是一个数域，但x2=2x2=2无解。那能否推出x²=2x²=2无解呢，我们说也不能，因为如果我们让F=RF=R时，在这个域上是有解的。 于是，得到结论“代数方程x2=2x2=2有解”这个命题，在数域公理体系下，是无法证明，也无法证伪的。于是这个x2=2x2=2是否有解，与数域公理独立。 通过上面的讨论，我们知道，我们要一个命题的证明独立性，有一个办法是，找两个模型，两个模型都满足所有公理的条件，但这个命题在其中一个模型里是真命题，在另外一个是假命题（比如前文中的有理数集和RR）。 我们都熟知的连续统假设与ZFC公理系统独立就是用这样的办法证明的。 第一个找到让连续统假设是真命题模型是哥德尔，他利用了构造性公理。由于ZF和构造性公理一起还能顺便推出选择公理，于是他证明了连续统假设和ZFC是不矛盾的。 找到另一个让连续统假设是假命题模型，要难得多。不过还是由科恩(P.J Cohen)找到了，找的过程中，他用了他本人发明的数学工具力迫法(Forcing)。于是，连续统假设与ZFC公理体系就独立了。由此，科恩获得了1966年的菲尔兹奖，也是唯一一个在数理逻辑领域的菲尔兹奖的获得者。 最后补充一点，我们说公理就是“证据”。现代的公理代数学到底是哪些“证据”呢。这些证据被称为ZF公理体系。我这里列举一下，不过我全部用口语不严谨的列举(严谨的要用形式语言)。

1. 公理1 外延公理 两个集合有相同的元素则两集合相等
2. 公理2 正规公理 每个非空集合xx 都包含一个元素y∈xy∈x ，使得xx和yy不相交。
3. 公理3 分类公理 xx是一个集合，pp是一个描述集合的性质，则{y∈x: p(y)}{y∈x: p(y)}是一个集合
4. 公理4 配对公理 x,yx,y都是集合，则{x,y}{x,y}也是集合。
5. 公理5 并集公理 一簇集合的并，还是集合。
6. 公理6 替代公理模式 一个集合被映射后，得到到的像还是一个集合。这个公理之所以称为模式，无穷多的映射，对同一个集和都能产生像，这些像都是集合。所以这其实无穷多条公理。
7. 公理7 无穷公理 存在一个无限个元素的集合(所有自然数在一起是集合)。
8. 公理8 幂集公理 一个集合的子集做元素，能形成一个集合。

上面8条就构成ZF公理体系，再加上下面的选择公理，就是ZFC公理体系。

9. 公理9 选择公理 对一簇集合，我们可以每一个集合里抓出一个来，形成一个新集合。