一共有多少个长方形

一共有多少个长方形？如图，四条横线与十一条竖线相交，请问一共有多少个长方形？要是贸然回答是3×10＝30个，那当然是错的。这只是小长方形的个数，还有很多大长方形哩。怎样解这道题，切实可行的方法，是从简单的情况做起，找出变化规律来就好办了。

最简单的情况是下页左图，两条横线加上两条竖线成为一个长方形。上中图多了一条竖线，这时图中有三个长方形：两个小的，一个大的。换句话说，因为添了一条竖线，上中图比上左图多出两个长方形，共有1+2个长方形。上右图又比上中图多一条竖线，这时图中多出了三个长方形：一个小的，一个较大的，一个更大的，共有1+2+3=6个长方形。
这样推下去，十一条竖线与两条横线组成的长方形个数是：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=(1+10)*10/2=55。

四条横线呢？最简单的情况是四条横线、两条竖线。这和两条横线、四条竖线一样，共有1+2+3＝6个长方形。

现在，加一条竖线，共有6×3＝18个长方形；再加一条竖线，共有6×6＝36个长方形：再加一条竖线，共有6×10＝60个长方形。这样推算下去，原图共有6×55＝330个长方形。很好。不过，6最好写成(1+3)*3/2，55最好写成(1+10)*10/2。为什么呢？

因为这样写，容易看出规律，算出结果6与55，反而掩盖了这种求和的内在规律。根据规律，m条横线与n条竖线相交，共有的长方形是：m*(m-1)/2*n*(n-1)/2。