在速算的背后

在速算的背后：速算，看起来使人惊奇。弄清了它的根底，原来十分平常。 两数相乘，要是都是比 100 略小的数，例如 98×93，懂得窍门的人，可以应声说出它的答案：9114。一算，确实不错。 怎么速算的呢？

容易看出，98×93 的积是 4 位数；98 对 100 的补数是 2，93 对 100 的 补数是 7。用 98 减去 93 的补数 7，或者用 93 减去 98 的补数 2，得 91，这就 是答案的前两位；两补数相乘，2×7=14，这就是答案的后两位。

要是两补数相乘得到的是一位数，就在前面补个 0，凑够两位；要是得 到的是三位数，就进上一位。98×97=9506，95=98-3，06 是由 2×3=6 凑 0 得到的；86×92，86-8=78，14×8=112，结果是 7912。

这两步，说起来有点噜苏，用起来是非常干净利落的。比 1000 或者 10000，100000，……略小的数相乘，都可以如法炮制。 为什么可以这样算呢？

两个数都比 100 或者 1000，10000，……略小一些，就一定可以用 10n-a和 10n-b 来表示，这里的 n、a 和 b 都是自然数，得到（10n-a）（10n-b）=10n（10n-a-b）+ab。

右边第二项 ab，显然就是两个补数的乘积。右边第一项里的 10n-a-b， 可以看作（10n-a）-b，或者（10n-b）-a，这正是一个乘数减去另一个乘数 的补数；10n 是添 0 数，是定留空位数的。速算之所以能成功，就因为它是建立在恒等式的基础上的！从速算背后，捉到了隐藏的恒等式，不要轻易放掉了它。在这里头，还可能找到更多的窍门。

你看，在恒等式（10n-a）（10a-b）=10n（10n-a-b）+ab 中，把“-”换成“+”，它也对。

（10n+a）（10n+b）=10n（10n+a+b）+ab。这样，又学会了两个都比 100 或者 1000，10000，……略大的数相乘的速算法了。

1045×1006，1045+6=1051，补三个 0 是 1051000，45×6=270，结果是 1051270。 能把这两个速算法统成一个吗？

能。这只要推广一下补数的概念就行了。通常，比 100 小的数，例如 95， 它补上 5 就是 100，所以 5 叫做 95 的补数。那么，105 要补上多少才是 100 呢？只要补上—5 就行了。

这么说，比 100 略大的数，它的补数是负数。可不是吗，100—a 是 a 的补数，a 比 100 大，补数是负的，完全合理。 补数可以是负数，那开头说的方法，就不只可以用于两个略小于 100 或者 1000，……的数相乘，也可以用于两个略大于 100 或者 1000，……的数相 乘。这时，减去另一数的补数，因为补数是负的，实际上是加上一个正数。
 
两个补数相乘，在补数是负的情况下，负乘负得正，后头部分也是正的！再一想，两数相乘，要是一个比 100 或者 1000，……略大，另一个略小，这个方法也是可以用的。

995×1046，1046-5=1041，5×（-46）=-230，1041000-230=1040770。这就是答案。你不妨验算一下。

这样看来，我们要两个数与 100 或者 1000，……很接近，这个条件，在那个恒等式里并不需要，只是速算的目的要我们这样做！实际上，随便两个 数相乘，都能用这个方法。例如 57×34，这里的补数是 43 和 66， 34-43=-9， 补两个 0 是-900，43×66=2838，-900+2838=1938，这就是答案。

这样做，结果倒不错，可是比普通的算法还麻烦，就不是速算了。 在这个速算法的背后，躲着一个恒等式，那么、是不是在别的恒等式背后，也藏着别的速算法呢？ 确实是的。

根据（a+b）（a-b）=a2-b2：603×597=（600-3）（600+3）=360000-9=359991；782-772=（78+77）（78-77）=155。

根据（a+b）2=a2+2ab+b2=a（a+2b）+b2：252=2×300+25=625；752=7×800+800+25=5625。 把它推广一下，由（a+b）[a+（10-b）]=a（a+10）+b（10-b），可以计算两个 10 位数相同、个位数互补的数相乘。76×74=7×800+4×6=5624。最后，建议你想一下， 97×989 能不能速算？背后躲着哪个恒等式？（谈柏祥）