影子的数学应用

影子的数学应用：自古以来，人们仰望遥远的天空时，就会情不自禁地想道：“天到底有多高呢？”由于天高不可测，人们便想知道，挂在天空的太阳离地到底有多远。孔
子不能回答“小儿辩日”的问题，然而，初生的牛犊不怕虎，有一个儿童却敢于当着大人的面巧辩太阳离地有多远。

约在公元300年，晋元帝司马睿问他才七八岁的儿子司马绍道：“长安离我们这儿远，还是太阳离我们这儿远？”司马绍回答：“太阳。因为：有闻客自长安来，却未闻有人从日边来。”元帝很高兴，第二天在宴会上说起这件事，当时别人又问司马绍一遍相同的问题，可是他却回答“长安远”。

这下让元帝大为扫兴，正要提示，只见司马绍不慌不忙地补充说：“举目见日，不见长安。”这两句话引得元帝满心欢喜，登时四座惊服。司马绍才思敏捷，后来的人把远方亲友不能见面的思念用“长安远”为辞。成为千古名喻。

那么，到底是长安远还是太阳远，科学家们却是用具体的数学来说话。长安在大地上，自然有办法丈量，而那个太阳高悬在空中，要测量它离我们这儿有多远就很难了。然而，人类的智慧到底还是征服了大自然。这就是利用“影子”。

一首题为《影子》的诗写道：“岂能依此长短，判定人的高矮！”这首诗只有寥寥12个字，却揭示了一条深刻的哲理，它寓含于科学与人生之中，就影子本身来说，它貌不惊人，从来都是某种物体的附属品，又是虚无阴暗的代表，习惯被人瞧不起，认为是毫无价值的、空洞的，甚至把它的存在也看成是多余的。然而，我们岂可以依此长短来判断人的高矮呢？诚然，大自然的奇观五光十色，令人眼光缭乱，有多少惊奇奥妙的情与景令人神往啊！

对于张目可见的影子实在不屑一提。可是，真正的科学家却不认为影子毫无用处，因为他们早就理解了其中的哲理，明白了衡量一件事物的价值是不能光凭外感来做标准的。
不是吗？因为有了影子，人类才揭示了日食的秘密，同时，光学之中出现了成像原理，微积分学中有了变化率，测量学中有了测高望远之术，定时装置中有了日晷……

早在公元前6世纪，古希腊学者塔利斯就曾经借用影子的作用去拯救战火中受难的百姓，据说当时美地亚和吕地亚国（位于现今土耳其西部）发生战争，连续五年未分胜负，满目疮痍，哀鸿遍野。老百姓处于水深火热之中。

塔利斯目睹惨景，便去游说两国首领，晓以利害，建议停战，但均遭到冷遇。于是，他便扬言，上天反对战乱，某月某日利用日食作为警告。果然到了那天，两军正在酣战，突然太阳失去光辉，白昼顿时成了黑夜，双方将领大为恐慌，从此罢战言和。

这个传说当然未必可信，因为那时塔利斯是否有能力预测日食发生的时间是值得怀疑的，但这说明影子在宇宙空间也有如此妙用；而塔利斯深知影子的妙用，因此也敢于大胆地回答“金字塔之谜”的问题：即金字塔有多高？

当时，埃及法老阿美西斯悬赏征求这个答案。当然，要求答案是准确可靠的，如果信口开河，无根据地胡诌一个数，这会要受到惩罚的。因此，在很长一段时间里没有人应征。终于有一天，金字塔前人山人海，争相目睹塔利斯的测高表演。首先，他在广场上竖立一根木棍，在日光照耀下，顺着影子从木棍的底部引出一条直线，量线长等于木棍高的地方做一个记号；他目不转睛地注视着影子的变化，当棍顶的影子与记号重合时，立即快步跑到金字塔塔顶的影子处去做一个标志；他认为，木棍影长与棍长相等时，塔高就应该等于塔影长的，只需量塔影长就知道塔高了。

是的，这个方法很简单，他的原理也是容易被接受的。可是，当他量了塔影的部分长度（全部长度应是从塔中心开始，而有一部分处于底盘位置），准备再去量取金字塔底盘的宽度时，有人喊叫起来：“塔利斯的测量不准！”等他弄清是怎么回事时，不禁皱起眉头，看看影子，叹了口气！原来，就在他跑去设立塔顶影子的标志时，木棍的影子又变动了；而且，由于金字塔的底盘很大，需要量取底盘宽度，以便确定中心到边界的距离，按这距离加上所见影子的长度才是塔高，本来选择影子方向也不能严格与塔的一边平行，现在方向又偏移了，因此他的失败之处在于测量目的物不是一根“杆”，而是底盘很大的金字塔。

塔利斯虽然第一次尝试失败了，但后来，却利用影子不停息地移动的性质巧妙地进行了新的尝试：观测两次，第一次定下木棍顶和塔顶的影子位置a和A，第二次b和B，那么，AB∶ab就是塔高与棍长之比了。棍长既为已知，自然就容易求出塔高来。

人们惊讶地看到塔利斯的超人智慧，无不叹为观止。然而，一座塔、一棵树，甚至一座山固然都可以应用这个方法测量高度，却没有人敢想象更高的物体，譬如说太阳，它到底有多高呢？

富于幻想的科学家想到，既然太阳是挂在天上的，日高也就是高了。那末，谁能够测得日高呢？第一个接受挑战的是我国三国时代的科学家赵爽（公元3世纪），赵爽在作《周髀算经》注释时巧妙地创造了“双表人影法”来解决这个难题，他绘制了一幅《日高图》，在平地上面立两表（表即“杆”的意思），日照下显出影长AB和CD，作CE=AB，则ED为两影长度之差；接着他证明“黄甲”与“黄乙”的面积相等，而黄甲的面积是表高与两表之间距离的乘积，用影差作为黄乙的宽去除黄甲面积，便得黄乙的长，它的上端与日头相齐，加上表高，就是日高了。赵爽测日高的方法可用下式表示：
FD＝GA*AC/ED+GA

固然，由于地面不是很平的，而且表高与表间距离相对于日高来说过于微小，所以测得的日高是不够准确的。但是，赵爽却为后人提供了一种极为先进的测高望远之术。历史的发展必然会使科学不断进步，就在赵爽之后几十年，与其同世纪的刘徽提出一种重差理论，发明了“重差术”，“重”就是重复，“差”是日照影子长度的差值，说明只需测两次求日影的差，就可以算出距离。刘徽对赵爽的日高测量法作了比较大的发挥，他认为，重差法用测日高可能不准确，但是，用于测量一座山、一座塔的高度却是游刃有余；特别是用于测量“可望不可即”的景物更是别开生面，譬如说在大陆要隔海测量海岛高度就可以用这种方法。d
d=AC*AB/ED

刘徽对影子的研究，使测高望远之术更加向前推进了一步。无独有偶。赵爽创立用影子的有关数据进行测量的方法，不但被刘徽推广和发挥，在外国也有惊人的成果。例如，1569年在威尼斯出版的一本书上绘制的图，所说明的测量建筑物高度的方法，其原理与《海岛算经》的《望海岛》题一样；此外，明末时期，意大利传教士利玛窦来我国，曾口授《测
量法义》一书，也记载有与《望海岛》相类似的题目。外国的成果与刘徽方法大同小异，虽不能说他们的成果是源自刘徽，然而，这已是16、17世纪的事了，而刘徽的“重差术”却在他们一千多年前已研究出来了。

有人追溯更早期利用影子测量景物的方法，可溯源至古埃及或古印度的时代，但是，除职像塔利斯那样的传说之外，基本上已没有什么当时的文献可查。而在欧洲，虽然有许多利用影子原理的测量的方法记载在数学书籍或某些文学作品中（例如凡尔纳在小说《神秘岛》中描述了算术测峭壁的高度），也多半是近代的事；像16世纪威尼斯出版的那本书则是很少见的。

人的自身能力是有限的，不能直接去丈量海岛的高度，更无法量出至海岛的距离，然而，凭借影子，却能把理想（甚至可以称为幻想）变成现实。如果我们回味那首短短的《影子》诗，就能悟出一番真谛。人们在研究影子的功用时，也曾出现一些疑点，例如有人怀疑塔利斯第一次应用木棍的影子测量金子塔高度的原理是否正确。木棍比金字塔矮得多，木棍的影长等于棍子高度时，α=45°，但此时β不是45°，说明金字塔影长并不就是它的高度。那么，为什么可以认为塔利斯的方法是可行的呢？

道理很明显，因为木棍与金字塔的距离相对于与太阳的距离来说太微不足道了，因此太阳射至木棍和塔的光线可以认为是平行的，这也是赵爽方法实际上不能用于测日高的原因之一。从另一方面看，如果光源很近（例如是一盏灯），塔利斯的方法就不实用了，而刘徽的方法却是可行的。