欧几里得怎么证明质数个数是无限的

欧几里得怎么证明质数个数是无限的：数论与几何学一样，是最古老的数学分支。欧几里得的《几何原本》的七、八、九章，讲的就是数论。对于质数的研究，在数论中占有很重要的位置。我们知道，正整数是由1、质数（也叫素数）与合数这三类数组成的。

一个大于1的正整数，如果只能被1和它本身整除，不能被其他正整数整除，这样的正整数就叫做质数；否则就叫做合数。在整数1、2、3、4、……中，去掉1与全部合数，所得的表：2，3，5，7，11，13，17，……称为质数表。在质数表中，除了第一个质数2，其余都是奇质数。现在世界上最好的质数表是查基尔编的，列有大不大于50000000（五千万）的质数。

关于质数，最古老的问题是：质数有多少个？欧几里得在《几何原本》中，最先证明了质数有无穷多个。他的巧妙的证明方法，闪耀着智慧的光辉。

2000多年来，人们虽也提出过一些别的证法，但是直到今天，还是欧几里得的证明方法最好。

欧几里得证明质数有无穷多个的方法，大意是：假若质数只有有限多个，设最大的一个是P，从2到P的全体质数是：2，3，5，7，11……，P。所有的质数都在这里，此外再没有别的质数了。

现在，我们来考察上面从2到P的全体质数相乘、再加上1这个数，设它是A，即A=2×3×5×7×11×……×P+1。A是一个大于1的正整数，它不是质数，就是合数。

如果A是质数，那么，就得到了一个比质数P还要大的质数，这与质数P是最大质数的假设矛盾。

如果A是合数，那么，它一定能够被某个质数整除，设它能被g整除。

因为A被从2到P的任何一个质数除，余数都是1，就是都不能整除，而质数g是能整除A的，所以质数g不在从2到P的全体质数之中。这说明质数g是一个比质数P更大的质数，这又与P是最大的质数的假设矛盾。

上面的证明否定了质数只有有限多个的假定，这就证明了质数是无穷多个。

这个证明的构思非常巧妙，它的基本思路是：既然对于无论多大的质数，都一定有比它更大的质数，那当然质数就是无穷多个了。质数虽然有无穷多个，但是在自然数中，它是排列得相当稀的。人们证明了这样一个道理：无论给定一个多大的正整数，比方说100亿万，一定能找到一个正整数，在这个正整数中，一个质数也没有。如果你不是说100万，而是说100亿万，这个结论也成立。

这个定理的证明，在构思上与证明质数无穷相象。质数虽然有无穷多个，但人们能具体写出来的，总是有限个。因此，找一个比现在所知道的最大质数更大的质数，是人们经常探讨的难题之一。