一道国际数学奥林匹克题

一道国际数学奥林匹克题：从1959 年起，每年举行一次的国际中学生数学竞赛，又叫做国际数学奥林匹克。第二十四届国际数学奥林匹克有一道题是：设a、b、c 是三角形的边长，证明a²b（a-b）+b²c（b-c）+c²a（c-a）≥0；确定等式成立的条件。

 有人认为这里的a、b、c，可以推广为任意正数，并且还给出了证明。很遗憾，他的证明是错的。他所说的推广：设a、b、c 为任意正数，那么：a²b（a-b）+b²c（b-c）+c²a（c-a）≥0，是不能成立的。

 要证明这个推广不成立，只要举出一个反例，也就是举出一个使它不成立的例子，就足够了。怎样举反例，通常是选用极端的情况。比如说a＝b＝c。这里，a＝b＝c，等号成立，不是反例。要是取b＞a，这时a2b（a-b）＜0。再设c 很小，这时b²c（b-c）+c²a（c-a）也就很小。所以，它与负数a²b（a-b）的和a²b（a-b）+b²c（b-c）+c²a(c-a)＜0。这就证明了推广是不成立的。

 原来的问题怎样解，这可不容易。不只优秀的中学生感到困难，大学生也不一定能顺利解决。参加这次比赛的一名西德选手，却找到了一个简洁的证明。这个证明只有一个等式和一句话：设a 为最大边，因为a²b（a-b）+b²c（b-c）+c²a（c-a）＝a（b-c）²（b+c-a）+b（a-b）（a-c）（a+b-c），而后边的每一项都是非负的，所以原式成立；只有当a＝b＝c 时，原式才是等式。

 附带说一下。1985 年7 月，第二十六届国际数学奥林匹克在芬兰举行，我国首次派出一名高二学生和一名高三学生前往参加，名次靠后。看来，我国的成绩不够理想，准备不够是原因，现场应变能力较差也是原因。

 这次竞赛有两道几何题：一，设凸四边形ABCD 的顶点在一个圆上，另一个圆的圆心在边AB 上，并且与四边形的其余三条边相切。求证AD+BC=AB。二，设ABC 为三角形，一个以O 为圆心的圆经过顶点A 和C，又和线段AB、BC 分别交于点K、N，K 与N 不同；△ABC 和△KBN 的外接圆，恰好相交于B 和另一个点M。求证∠OMB 为直角。

 这两道题层次多，难度较大。既需要扎实的基本知识，又需要机智和技巧，才能找到解决问题的突破口。

 1986 年初，中国数学会和南开大学在天津主办了首届全国中学生数学冬令营。通过考试，从营员中选拔选手，参加1986 年7 月在波兰举行的第二十七届国际数学奥林匹克。冬令营的考试很别致，发糖果和点心，有休息室和茶水，什么时候想出去走动走动都可以。据说，今后的国际数学奥林匹克赛就是这个样子。看来，这样的适应性训练是需要的。

据新华社华沙7 月14 日电：第二十七届国际数学比赛结果今天揭晓。两名苏联选手和一名匈牙利选手以满分（42 分）获一等奖。我国来自郑州、上海、天津的三名选手，分别以41、39、37 分获得一等奖。来自西安、湖北黄冈的两名选手，分别获得二等、三等奖。和上一届比，我国代表队的成绩，进步很大。