波沙的故事

波沙的故事：匈牙利出过不少数学小能人，波沙就是一位。在他九岁的时候，数学家厄尔多斯专程到布达佩斯去看他。厄尔多斯出了一个问题给他做：在1，2，3……2n这2n个自然数中，任意取出n＋1个来，那其中一定有两个数互质。也就是它们的最大公约数是1。

波沙正在喝咖啡，他用汤匙在杯子里搅了几下说：这个问题不难。在任取的n＋1个数中，一定有两个数是相邻的。两个连续整数的最大公约数是1。

波沙答得快，答得好，可见他善于思考问题，发现规律。后来，厄尔多斯经常出问题给他做，波沙很快成了一位数学家。

为什么从2n个自然数1，2，3，……2n中，任意取出n＋1个，一定有两个是相邻的呢？

这可以用既简单又有趣的抽屉原则来证明。这个原则说：把n＋1个苹果放到n个抽屉中，一定有一个抽屉中的苹果个数不少于2。换句话说，从n个抽屉中取出n＋1个苹果，那么，一定从某一个抽屉中取出两个或者更多个苹果。

对。要是从每个抽屉中，都至多取出1个苹果，那么从n个抽屉中，至多只能取出n个苹果。

好，现在我们把1，2，3，……2n这2n个数分成n组：1，2为一组；3，4为一组；……2n-1，2n为一组。再把每一组看成是一个抽屉，每一个数看成是一个苹果。根据抽屉原则，取出的n＋1个数——苹果，一定有两个是在同一组中，也就是说它们是相邻的。

抽屉原则用处很大。再举一个例子：任取五个自然数a1，a2，a3，a4，a5，证明其中一定有一个数或者几个数的和，能被5整除。解这类问题的关键，是制造适当的抽屉。我们把五个自然数放在五个抽屉里：除以5余1的放在第一个抽屉里；除以5余2的放在第二个抽屉里；余3的放在第三个抽屉；余4的放在第四个抽屉；最后，被5整除（除以5余0）的数放在第五个抽屉里。

现在来考虑这五个自然数：a1,a1+a2,a1+a2+a3,a1+a2+a3+a4,a1+a2+a3+a4+a5。

要是其中有一个在第五个抽屉里，结论已经成立。要是这五个数都不在第五个抽屉里，那么，这五个数在前四个抽屉里。根据抽屉原则，其中一定有两个数在同一个抽屉里。也就是说这两个数除以5，所得的余数相同。这样，这两个数的差被5整除。可是，在a1,a1+a2,a1+a2+a3,a1+a2+a3+a4,a1+a2+a3+a4+a5中，任意两个数的差是a2,a3,a4,a5中的一个或者几个的和。所以，在a1，a2，a3，a4，a5中，一定有一个或者几个的和被5整除。

在解答与整数有关的问题时，考虑余数是一种常用的方法。奇数与偶数就是除以2余1与余0的数。