哈密尔顿周游世界

哈密尔顿周游世界：1859 年，英国数学家哈密尔顿，发明了一种叫做周游世界的游戏。他用一个正十二面体的二十个顶点代表二十个大城市，要求沿着棱，从一个城市出发，经过所有的城市一次，然后回到出发城市。

用下边的平面图代替正二十面体，也能进行同样的游戏。符合要求的路线很多，也好找。下面这个图中有十六个点，能找到一条路线经过每个点恰好一次吗？这样的路线是不存在的。也就是说，不可能在图中找到一条路线经过每个顶点恰好一次。为什么呢？

这可以用枚举法来给出证明。不过，题目的可能情况太多，用枚举法太繁。那怎么办呢？用反证法。先把这些点涂上红（白）、蓝（黑）两种颜色，使得相邻的两个点颜色
不同。

这样，每走一步，红点只能走到蓝点，蓝点只能走到红点。要是有一条通路存在，那在这条路上，红点与蓝点的个数应当相等。当然也可能相差一个。要是从红点开始，最后一个是蓝点，红点与蓝点一样多；最后一个是红点，红点比蓝点多一个。要是从蓝点开始，这时红点与蓝点个数一样多，或者红点比蓝点少一个。

数一数，图中有七个蓝点，九个红点。它们的差是二。这和红点个数与蓝点个数至多相差为一矛盾。所以，没有一条经过每个点恰好一次的路存在。在数学里，答案为不可能的问题很多。不要认为所有问题的答案都是能。当然，为什么不可能，也同样需要经过严格的证明才能成立。