模糊数学

模糊数学：数学还能模糊吗？多少年来，人们都把数学看成是一门最精确的科学，认为高度的精确性是数学与其他学科的主要区别之一。有的人还说过数学是科学的女王或皇后之类的话，大概就是为了称赞数学的精确性。其实，与其说数学是科学的女王，不如说数学是科学的仆人。数学是基础学科，它是为其他学科服务的。

数学不能只讲精确。人们在生活、生产和科研中，常常要用到一些模糊的概念、判断和推理，数学也应该想办法研究这些东西，解决有关的问题，同时也丰富自己。一个人如果拒绝使用模糊的概念、判断和推理，他大概会成为精神病患者。比如说，你请他替你去告诉李鹏同学一件事。可是他并不认识李鹏。你就告诉他说，请他到操场的东南角去找李鹏，李鹏正在那里和几个同学玩，他是个矮个儿，胖子。

你以为已经说清楚了，可是他问：“矮个儿，身高不超过一米几？胖，他的腰围多少？体重多少？”就算你的答复能使他感到满足了，他拿起皮尺和磅秤去操场了。可是问
题又来了，“东南角”，这是多大的个范围？是半径五米的一个圆？还是边长三米的一个正方形？如果有一个人一只脚站在这个范围内，另一只脚站在这个范围外，应该不应该考虑在内？……他还在郑重其事地考虑这些问题，天早已黑下来了，操场上只剩他一个人了。

可见不允许用模糊的概念是不行的。那么，人们是怎样利用模糊概念去思考的呢？起初，人们以为模糊就是近似。人们就去研究有关近似的计算、误差等的数学道理，取得了不少成果。后来，人们把模糊和偶然性联系在一起。人们就去研究有关随机变量、随机过程和数理统计方面的数学道理，也取得了不少的成果。

但是，人们渐渐发现，这些并没有抓住模糊的概念的主要特点。精确的概念是什么呢？假如我们谈论你班上的男同学，这“男同学”就是一个精确的概念。为什么精确？因为一个同学概括不概括在这个概念内，是完全确定的，你和我都清清楚楚。当然，我没见过你班上的同学，所以我并不知道某一个同学，比如李明，是不是一个男同学。但是这并不要紧，因为我很清楚，他或者是个男同学，或者不是个男同学，这是明确的。我们可以把一个明确的概念看成一组事物的总称，用现代数学的术语来说，就是一个“集合”的名称。

模糊的概念与此不同，比如我们谈论你班上的高个子，这“高个子”就是一个模糊的概念。李华身高1.90米，他算高个子是当之无愧的。张明身高1.44米，他和高个子根本不沾边。但是王虎呢？他身高1.65米，算不算你班上的高个子呢？这就很难说了。所以“高个子”这个概念是个模糊的概念，主要不是因为测量可能有误差，也不是因为人的身高会随着他的健康情况、运动情况等发生偶然的变化，而是因为我们对“高个子”这个概念根本没有一个明确的界限。如果要把你们班上身高在1.70米以上的同学挑出来，这“身高1.70米”就不是一个模糊概念。模糊概念的最根本特点就是：有些事物是否概括在这个概念里，是不太明确的。

当然，一个同学的个子越高，他越可以算作高个子。所以不同的事物，能否概括在一个模糊概念中的资格也不同。这样，我们就可以把一个模糊概念与一张表联系起来，表上列出了每一个事物是否能概括在这个概念中的资格。例如，概念：你们班上的高个子李华、张明、王小虎、陈大刚：100.40.75……

这叫资格表。1、0、0.4等表示资格的多少。对不同的模糊概念，资格表也不同：概念：你们班上的胖子：李华、张明、王小虎、陈大刚：00.20.90.75……

模糊数学的研究工作，就是以这种表为基本材料。比如说，两个概念可以合成一个新的复杂概念。对于精确的概念来说，“你们班上的身高超过1.70米、体重超过70公斤的同学”是个复杂概念。这个概念是一些什么事物的总称呢？就是你们班上的同学必须既属于“身高超过1.70米”这一组，又属于“体重超过70公斤”这一组，也就是说这两组的共同部分。用现代数学的术语来说，就是这两个集合的交集。

对于模糊的概念来说，“你们班上的高个胖子”这个复杂概念，有一个什么样的资格表呢？就是“你们班上的高个子”这个资格表与“你们班上的胖子”这个资格表中，每行的两个数中的较小的一个：概念：你们班上的高个胖子：李华、张明、王小虎、陈大刚：000.40.75……

李华太瘦了，他根本没有资格叫做胖子，虽然他完全有资格叫做高个子，还是根本没有资格叫做高个胖子。张明呢？他完全没有资格叫高个子，所以不管他是胖是瘦，反正没有资格叫做高个胖子。王小虎相当胖，但是只有0.4的资格叫做高个子，所以他也只有0.4的资格叫高个胖子。陈大刚与他们都不同，叫高个子与叫胖子都有0.75的资格，所以他有0.75的资格叫高个胖子。如果你班上就只有这四个同学，你要我去找你班上的高个胖子，我毫不犹豫地就把陈大刚找来了，虽然李华比他高，王小虎比他胖。说到这里，你多少可以觉出一点模糊数学的味道了。模糊数学利用了资格表——用现代数学的术语来说叫做特征函数，就可以用精确的数量关系来表达模糊的概念和它们的关系了。所以模糊数学处理的虽然是模糊的东西，但是它本身并不是模糊的！

在数学的各种分支中，类似模糊数学的例子还有。比如研究数量变化，这个变化可以非常复杂，甚至可以反复无常，但是变量的数学—一微积分，却是一门脚踏实地的严肃学科，丝毫也没有反复无常的地方。以不变对万变，以精确对模糊，这都是现代数学的深刻性和技巧性的精彩所在！（马希文）