奇偶数趣谈

奇偶数趣谈：你知道，能被2整除的数叫做偶数；不能被2整除的数叫做奇数。你可注意到奇数与偶数有一个显著的特点：就是它们的相间性，即一个奇数后面是一个偶数；一个偶数后面是一个奇数。利用奇偶数的这一特征，和下面一些显而易见的运算性质：奇教±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，偶数±奇数=奇数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数，我们可以解决很多用其他方法不好解决的问题。如：“7只茶杯口朝上放在桌上，每回翻转其中的4只，能不能做到使7只茶杯全部变成口朝下？”

如果当真去试验一下的话，情况将会很复杂，因为每回究竟翻转哪4只有许多不同的选择，于是，我们把思路集中到1只茶杯上，容易想到，一只茶杯无论翻多少次，只要翻转的次数是偶数，杯口的方向一定会保持原样；只有当翻转的次数是奇数时，杯口的方向才会向下。所以7只杯口要从向上变为向下，翻转的总次数一定是7个奇数的和，仍然是一个奇数。而每回翻
转4只相当于1只1只地翻转4次，无论翻转多少回，总次是都是偶数，即4的倍数，因此，所提要求是无法实现的。从上面题目得到一个经验：当一件事物只有两种状态时，如上与下，正与反，开与关，通与断……就可以联系奇偶数来考虑。

有时还可以采取形象化的处理方法。在中国象棋盘上，马跳奇数次能不能回到原来的位置？

这里用试验的方法是不行的。因为我们不能断言要试多少次才能发生这种情况。为此，我们用黑白相间的两种颜色把棋盘上的点分成黑点白点两类，正如整数分成奇、偶数一样。现在我们可以知道，马在原来的位置无论向什么方向每跳一步，点的颜色就会随着改变一次。因此，马跳了奇数次后，颜色必然与原来不同，更谈不上跳回原位了。

再看一个例子：“在一张纸上画了34个方格（如图1），能不能用一些两个方格连在一起的小纸片，把这34个方格全部盖住而没有重叠？

这道题如果简单地根据34能被2整除就作出肯定的回答是没有说服力的，因为没有考虑小纸片的排法。那么能不能用试验的方法来解决呢？这里我们采取染色的方法（如图2），可见，图中有16个黑格子，18个白格子，小纸片无论怎样放，盖住的格子总是一黑一白，所以无论每样排都会剩下两个白格盖不上。

上面两题所使用的方法叫“染色法”，是对奇偶相间性的巧妙应用。最后请看一道有趣的题：有一只奇怪的猫不仅非常善于捕鼠，而且吃老鼠的方式也很独特。每天晚上它总是让捕到的老鼠站成一行从1开始编号，然后把编号是奇数的吃掉，再让剩下的老鼠原地不动重新从2开始编号，再把编号是奇数的吃掉……照此方法直到吃到剩下一只为止，让这只老鼠留下来。可有一天，这只猫忽然发现有一只小白鼠一直留了下来。那么这只聪明的小白鼠是采用了什么方法躲过了一关又一关呢？

我们假定小猫一天捕10只老鼠，从下图可以看出，8号老鼠在前3轮编号一直处于偶数位置。从上面过程可以想到，因为每一轮总是把偶数号的老鼠留下来，所以谁编号中含有因数2越多，谁留下的机会就越多。聪明的小白鼠采取的策略是：先数一下是多少只老鼠，然后找出这个范围内含因数2最多的数是几，当它看到老鼠的总数刚刚大于其中某个数时，就抢先站在这个编号的位置上，于是它就能成为唯一的幸存者。（彭景康）