布丰先生的投针试验

公元1777 年的一天，法国科学家D·布丰（D·buffon1707～1788）的家里宾客满堂，原来他们是应主人的邀请前来观看一次奇特试验的。

试验开始，但见年已古稀的布丰先生兴致勃勃地拿出一张纸来，纸上预先画好了一条条等距离的平行线。接着他又抓出一大把原先准备好的小针，这些小针的长度都是平行线间距离的一半。然后布丰先生宣布：“请诸位把这些小针一根一根往纸上扔吧！不过，请大家务必把扔下的针是否与纸上的平行线相交告诉我。”

客人们不知布丰先生要干什么，只好客随主意，一个个加入了试验的行列。一把小针扔完了，把它捡起来又扔。而布丰先生本人则不停地在一旁数着、记着，如此这般地忙碌了将近一个钟头。最后，布丰先生高声宣布：“先生们，我这里记录了诸位刚才的投针结果，共投针2212 次，其中与平行线相交的有704 次。总数2212 与相交数704 的比值为3.142。”说到这里，布丰先生故意停了停，并对大家报以神秘的一笑，接着有意提高声调说：“先生们，这就是圆周率π的近似值！”

众宾哗然，一时议论纷纷，个个感到莫名其妙；“圆周率π？这可是与圆半点也不沾边的呀！”

布丰先生似乎猜透了大家的心思，得意洋洋地解释道：“诸位，这里用的是概率的原理，如果大家有耐心的话，再增加投针的次数，还能得到π的更精确的近似值。不过，要想弄清其间的道理，只好请大家去看敝人的新作了。”随着布丰先生扬了扬自己手上的一本《或然算术试验》的书。

π在这种纷纭杂乱的场合出现，实在是出乎人们的意料，然而它却是千真万确的事实。由于投针试验的问题，是布丰先生最先提出的，所以数学史上就称它为布丰问题。布丰得出的一般结果是：如果纸上两平行线间相距为d，小针长为l，投针的次数为n，所投的针当中与平行线相交的次数是m，那么当n 相当大时有：π≈2ln/（dm）。在上面故事中，针长l 等于平行线距离d 的一半，所以代入上面公式简化得：π≈n/m。

我想，喜欢思考的读者，一定想知道布丰先生投针试验的原理，下面就是一个简单而巧妙的证明。

找一根铁丝弯成一个圆圈，使其直径恰恰等于平行线间的距离d。可以想象得到，对于这样的圆圈来说，不管怎么扔下，都将和平行线有两个交点。因此，如果圆圈扔下的次数为n 次，那么相交的交点总数必为2n。

现在设想把圆圈拉直，变成一条长为πd 的铁丝。显然，这样的铁丝下时与平行线相交的情形要比圆圈复杂些，可能有4 个交点，3 个交点，2个交点，1 个交点，甚至于都不相交。

由于圆圈和直线的长度同为πd，根据机会均等的原理，当它们投掷次数较多，且相等时，两者与平行线组交点的总数可望是一样的。这就是说，当长为πd 的铁丝扔下n 次时，与平行线相交的交点总数应大致为2n。

现在再来讨论铁丝长为l 的情形。当投掷次数n 增大的时候，这种铁丝跟平行线相交的交点总数m 应当与长度l 成正比，因而有：m＝kl，式中K 是比例系数。为了求出K 来，只需注意到，对于l＝πd 的特殊情形，有m＝2n。于是求得K =2n/(πd) 。代入前式就有m =2lk/（πd），从而π≈2ln/(dm)，这便是著名的布丰公式。

利用布丰公式，还可以设计出求根号2、根号3、根号5等数的近似值的投针试验呢！亲爱的读者，你不妨一试。