啊哈反应

美国当代著名的趣味数学家马丁·加德纳(Martin Gardner)经常讲述一项有趣的动物实验：“黑猩猩摘香蕉”。一位实验心理学教授专门研究黑猩猩解决问题的能力。他把一只香蕉悬在天花板中央，其高度即使黑猩跳起来也够不着。除了几只随便乱放的板条箱外，房间内空无一物，这项实验的初衷是观察一只雌猩猩是否会想到先把板条箱堆叠在房间中央，再爬上去把香蕉摘下来。只见这只黑猩猩静静地蹲在房间的一角，注视着正在摆弄板条箱的教授，它在耐心地等待。就在教授正巧走到香蕉下方的一刹那，黑猩猩一跃而起，跳上教授的肩膀，再凭空一跃，将香蕉抓在爪中。

这一轶闻的寓意是：一个问题乍看上去难乎其难，但可能有一种出人意料的简单解法。在我们解数学题时，常常会有这样的亲身感受。有些数学问题，初看起来似乎很难，冥思苦想不得其解。但如放开思路，打破常规，从各种角度考虑，往往灵机一动，问题顷刻迎刃而解。一旦领悟，解答是如此出人意料，真是说来简单，得之容易，不由得“啊哈”一声。此种瞬间闪现的灵感，往往可以寻出简洁优美的解法，现代心理学家称之“啊哈反应”。若能在学习数学的过程中，注意欣赏和体会这种“啊哈反应”，不仅能激发我们钻研数学的兴趣，喜欢数学，而且还能逐渐领会到旁敲侧击，迂回曲折的思维要领，不断提高我们对数学解题的洞察力和鉴赏力。

下面我们通过几个逻辑问题和数学问题的求解，来体会和欣赏一下这种“啊哈反应”。

1．新书点点

数学冬令营开始了。老师发给每人一本新书，并要求在新书的每一页上点一个点。怎样才能以最快的速度办完这件事呢?

如果像在发票薄上盖公章那样，翻一页点一下，速度就太慢了。假如这本新书共1999页，那就需要点1999下!实际上，一下就可以将新书的每一页点上一个点：只要用笔在新书的侧面划一下就行了。你一开始就想到了吗?

2．剪刀连绳

在房间的天花板上悬着两根细绳，当我们拉着其中的一根去够另一根时，仅差一点够不着。此时手中只有一把小剪刀。怎样利用这把小剪刀，将两根绳接在一起，然后将洗好的手帕晾在绳子上呢?

解决这一问题的关键是：剪刀不仅可以用来剪绳子，而且还可用来充当摆锤。

3．数串的判断

观察下列的一串数：

199985137…其规律是：从第5个数开始，每个数都是它前面的四个数数字之和的个位数。试问：在这串数中，会不会出现2000?

这是一道典型的不可能性问题，乍看起来很难下手。当你按照规律，写出了第一百个数甚至第一万个数时，虽然2000没有出现，你也不能由此断言2000不会在这串数中出现。我们可以用奇数、偶数概念来解决这道难题。将数串中的奇数，偶数分别记作“○”，“×”，这时所给的数串就是如下形式：

○○○○×○○○○×○○○○×…其中连续的四个符号只有五种不同情形：

○○○○，○○○×，○○×○，○×○○○，×○○○，不可能出现××××，所以也不可能出现2000。这个例子表明了符号的直观功能，这个例子中用到的方法，称为“奇偶分析”，这是很有用的方法。

4．“词典”问题

从“学数理天地，进理想大学”这十个字中任选一到五个字(允许重复)，依先后出现的次序组成一个五个字的“词”，将所有可能的“词”按先后出现的次序组成一个“词典”：

学学学学学，学学学学数，学学学学理，…

试问：在这个特殊的词典中共有多少个词?两个词“学数理天地”和“进理想大学”之间(不包括这两个词)共有多少个“词”?

这真是一道令人望而生畏的难题。从哪里入手来解决这个问题呢?我们不妨将“学数理天地，进理想大学”分别标上数字“0123456789”，于是，这道题的数学含义就浅显易懂了。

(1) 数表00000，00001，00002，…，99999中有多少个“词”?

(2) 数字01234和数56789(不包括这两个数)之间有多少个自然数?

这个题又一次体现了符号的直观功能。

实际上，老奶奶数鸡蛋时用的就是这一种“配对法”；老奶奶从篮子里面取鸡蛋，拿一个，数一下；篮子里的鸡蛋拿光了，鸡蛋的个数也数好了。运用“配对法”可以解决许多数学难题。