奇妙的三兄弟

奇qí妙miào的de三sān兄xiōng弟dì：自zì古gǔ以yǐ来lái，在zài我wǒ国guó各gè地dì，就jiù流liú传着zhe多duō种zhǒng多duō样yàng的de智力游yóu戏xì。其qí中zhōng，有yǒu的de流liú传至zhì今jīn，深shēn受shòu欢迎yíng。最zuì近jìn，见国guó外wài介绍shào一yī种zhǒng叫jiào做zuò“拣jiǎn石shí子zi”的de游yóu戏xì，明míng确指zhǐ出chū是shì从cóng中zhōng国guó学xué来lái的de，有yǒu的de学xué者zhě还hái就jiù此cǐ写xiě了le论lùn文。可kě惜它tā究竟起qǐ源yuán于yú我wǒ国guó什shén么me朝代dài，流liú传情况kuàng如rú何hé，已yǐ经jīng无wú从cóng查chá考kǎo了le。

这zhè个gè游yóu戏xì的de玩wán法fǎ非fēi常cháng简jiǎn单dān，只zhǐ要yào在zài地dì上shàng拣jiǎn些xiē小xiǎo石shí头或huò者zhě小xiǎo树shù杈chā，分fēn成chéng两liǎng堆duī，每měi堆duī的de个gè数shù可kě以yǐ是shì任rèn意yì的de，只zhǐ要yào不bù相xiāng等děng就jiù行。玩wán的de规则zé如rú下xià：
一yī，两liǎng人轮lún流liú拿ná石shí子zi，每měi次cì可kě以yǐ从cóng一yī堆duī石shí子zi中zhōng，任rèn意yì取qǔ一yī颗kē或huò者zhě几jǐ颗kē， 直到dào把bǎ一yī整zhěng堆duī石shí子zi全quán部bù取qǔ走zǒu。也yě可kě以yǐ从cóng两liǎng堆duī中zhōng，任rèn意yì取qǔ走zǒu相xiāng等děng数shù量liàng的de石shí子zi。
二èr，每měi次cì轮lún到dào谁shuí拿ná，他tā至zhì少shǎo得dé拿ná一yī颗kē石shí子zi，不bù允yǔn许弃权quán，一yī颗kē都dōu不bù拿ná。
三sān，谁shuí拿ná光guāng剩shèng下xià的de石shí子zi，就jiù算他tā赢了le。

说shuō也yě奇qí怪，这zhè个gè看kàn起qǐ来lái十分fēn简jiǎn单dān的de游yóu戏xì，要yào想十拿ná九jiǔ稳wěn，取qǔ得dé胜shèng利lì，很不bù容róng易yì。不bù知zhī道取qǔ胜shèng诀jué窍qiào，马mǎ虎大dà意yì随suí便biàn拿ná，只zhǐ能néng一yī输shū到dào底dǐ。诀jué窍qiào在zài哪里lǐ呢ne？先xiān请qǐng看kàn这zhè张zhāng表biǎo：表biǎo中zhōng第dì一yī排pái数shù，是shì表biǎo示shì拿ná石shí子zi的de先xiān后顺序xù的de。第dì二èr和hé第dì三sān两liǎng排pái数shù，叫jiào做zuòA数shù列liè和héB数shù列liè，数shù列liè中zhōng相xiāng应yīng的de数shù构gòu成chéng一yī对duì。例lì如rú第dì五wǔ对duì是shì（8，13），第dì九jiǔ对duì是shì（14，23）。
序xù数shù1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A数shù列liè1 3 4 6 8 9 11 12 14 16 17 19 B数shù列liè2 5 7 10 13 15 18 20 23 26 28 31

你nǐ想取qǔ胜shèng，只zhǐ要yào记jì住zhù：在zài每měi次cì取qǔ走zǒu石shí子zi以yǐ后，要yào是shì能néng使shǐ留liú下xià的de石shí子zi个gè数shù，和hé表biǎo中zhōngA数shù列liè和héB数shù列liè的de某一yī对duì相xiāng符合，就jiù必bì胜shèng无wú疑yí了le。所suǒ以yǐ，你nǐ可kě以yǐ把bǎ（1 ，2 ），（3 ，5 ），（4 ，7 ），……这zhè些xiē数shù叫jiào做zuò“胜shèng利lì之zhī数shù”。 举一yī个gè例lì子zi。

开kāi始shǐ时shí，两liǎng堆duī石shí子zi分fēn别bié有yǒu7颗kē和hé11颗kē：000000000000000000要yào是shì你nǐ先xiān拿ná，就jiù可kě以yǐ在zài第dì二èr堆duī中zhōng取qǔ走zǒu7颗kē石shí子zi，使shǐ它tā成chéng为wèi：0000000000 注意yì，这zhè对duì（4，7），是shì表biǎo中zhōng的de第dì三sān对duì。

以yǐ后，不bù管对duì手怎样yàng动dòng作zuò，你nǐ总是shì稳wěn操胜shèng券quàn了le。要yào是shì对duì手从cóng两liǎng堆duī石shí子zi中zhōng各gè拿ná掉一yī颗kē，使shǐ它tā成chéng为wèi：000000000这zhè时shí，你nǐ就jiù可kě以yǐ再zài从cóng第dì一yī堆duī中zhōng取qǔ走zǒu一yī颗kē石shí子zi，使shǐ留liú下xià的de石shí子zi数shù，是shì表biǎo中zhōng第dì二èr对duì（3，5）：00000000这zhè样yàng一yī步一yī步，从cóng表biǎo中zhōng较jiào大dà的de一yī对duì数shù，逐zhú渐jiàn过guò渡dù到dào较jiào小xiǎo的de一yī对duì数shù，就jiù可kě以yǐ保证zhèng你nǐ拿ná到dào最zuì后的de一yī颗kē石shí子zi。

你nǐ可kě能néng要yào问wèn：表biǎo上shàng一yī对duì一yī对duì的de数shù那nà么me多duō，又yòu看kàn不bù出chū有yǒu什shén么me变biàn化huà规律，这zhè怎么me记jì得dé住zhù呢ne？是shì怪别bié扭niǔ的de，不bù好hǎo记jì。可kě这zhè正zhèng是shì游yóu戏xì的de奥妙miào所suǒ在zài！说shuō到dào这zhè里lǐ，讲jiǎng一yī个gè“无wú理lǐ数shù三sān兄xiōng弟dì”的de故事shì给gěi你nǐ听tīng。因yīn为wèi这zhè个gè故事shì和hé拣jiǎn石shí子zi有yǒu密mì切qiè关guān系xì。

在zài数shù学xué里lǐ，不bù循环huán无wú限xiàn小xiǎo数shù叫jiào做zuò无wú理lǐ数shù。它tā是shì一yī个gè庞páng大dà的de家jiā族zú，成chéng员yuán比bǐ有yǒu理lǐ数shù家jiā族zú多duō得dé多duō。在zài这zhè个gè家jiā族zú里lǐ，有yǒu三sān兄xiōng弟dì的de模样yàng和hé脾pí气特tè别bié相xiāng像xiàng。其qí中zhōng，老lǎo大dà是shì2 .61803398……；老lǎo二èr是shì1.61803398……；老lǎo三sān是shì0.61803398……。他tā们men挨个gè正zhèng好hǎo相xiāng差1。

在zài这zhè三sān兄xiōng弟dì中zhōng，老lǎo三sān来lái头不bù小xiǎo，它tā随suí同华huá罗luó庚教授奔bēn走zǒu大dà江jiāng南nán北，在zài推tuī广guǎng优选xuǎn法fǎ中zhōng立下xià了le汗马mǎ功gōng劳，这zhè就jiù是shì有yǒu名míng的de0.618法fǎ。优选xuǎn法fǎ里lǐ用yòng0.618最zuì好hǎo，这zhè是shì1953年nián一yī个gè美měi国guó人发fā现xiàn的de。为wèi什shén么me0.618最zuì好hǎo？国guó外wài虽suī有yǒu一yī些xiē证zhèng明míng，可kě都dōu是shì不bù正zhèng确的de，华huá罗luó庚指zhǐ出chū了le这zhè一yī点。随suí后，我wǒ国guó青qīng年nián数shù学xué家jiā洪加jiā威，在zài1973年nián首shǒu先xiān发fā表biǎo了le一yī个gè严yán格gé的de证zhèng明míng。

从cóng历lì史shǐ上shàng来lái看kàn，老lǎo三sān早zǎo在zài古gǔ希xī腊là、罗luó马mǎ时shí代dài，就jiù已yǐ经jīng名míng扬yáng四sì海，叫jiào做zuò“黄 金分fēn割gē数shù”，和hé绘画huà、雕diāo刻、建筑zhù等děng都dōu结jié下xià了le不bù解jiě之zhī缘。三sān兄xiōng弟dì友yǒu爱ài相xiāng处chù，亲密mì无wú比bǐ，它tā们men之zhī间的de奇qí特tè联系xì，说shuō出chū来lái令lìng人大dà吃chī一yī惊。不bù信，你nǐ用yòng笔算一yī下xià就jiù知zhī道了le。现xiàn在zài，请qǐng你nǐ把bǎ老lǎo二èr和hé老lǎo三sān乘chéng一yī乘chéng：它tā们men的de乘chéng积jī是shì1。换huàn句jù话说shuō，老lǎo二èr和hé老lǎo三sān是shì互hù为wèi倒dào数shù。在zài一yī切qiè实shí数shù中zhōng，只zhǐ有yǒu唯wéi一yī的de这zhè样yàng一yī对duì具jù有yǒu倒dào数shù关guān系xì的de正zhèng数shù，而ér它tā们men的de差是shì1。

老lǎo大dà和hé老lǎo二èr的de关guān系xì也yě很不bù平píng常cháng。老lǎo大dà正zhèng好hǎo是shì老lǎo二èr的de平píng方fāng，而ér它tā们men的de差是shì1。在zài全quán部bù实shí数shù中zhōng，具jù有yǒu这zhè种zhǒng关guān系xì的de一yī对duì正zhèng数shù，也yě是shì独dú一yī无wú二èr的de。这zhè样yàng，要yào是shì你nǐ设老lǎo二èr为wèix，得dé老lǎo大dà是shìx+1，老lǎo三sān是shìx-1，那nà么me，x（x-1）=1，1+x=x2。搞清楚chǔ了le它tā们men之zhī间的de这zhè种zhǒng关guān系xì，要yào是shì你nǐ把bǎ老lǎo二èr记jì为wèiφ，那nà老lǎo大dà就jiù是shì? 2 ，老lǎo三sān就jiù是shì1 。
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说shuō到dào这zhè里lǐ，原来lái上shàng面miàn拣jiǎn石shí子zi游yóu戏xì中zhōng很难nán记jì住zhù的deA数shù列liè，它tā的de通tōng用yòng公gōng式是shì[nφ]，B数shù列liè的de通tōng用yòng公gōng式是shì[nφ2]。注意yì，这zhè里lǐ的den表biǎo示shì序xù数shù；〔 〕不bù是shì中zhōng括kuò号，而ér是shì表biǎo示shì对duì正zhèng数shù来lái说shuō，只zhǐ取qǔ整zhěng数shù，略去小xiǎo数shù，比bǐ如rú[2φ]=[3.236]=3，[2φ2]=[5.234]=5。

不bù仅jǐn如rú此cǐ，A数shù列liè和héB数shù列liè中zhōng所suǒ有yǒu的de数shù，正zhèng好hǎo是shì全quán体自zì然rán数shù，既jì不bù重zhòng复fù，也yě不bù遗漏lòu！这zhè些xiē性xìng质zhì是shì惠huì特tè霍夫fū发fā现xiàn的de，所suǒ以yǐ这zhè个gè游yóu戏xì，在zài国guó外wài就jiù叫jiào做zuò惠huì特tè霍夫fū游yóu戏xì。游yóu戏xì说shuō到dào这zhè里lǐ，你nǐ也yě许会huì问wèn：有yǒu没méi有yǒu简jiǎn便biàn办bàn法fǎ，可kě以yǐ排pái出chū这zhè个gè胜shèng利lì之zhī数shù的de表biǎo格gé呢ne？

回huí答dá是shì有yǒu。按àn照zhào下xià面miàn的de办bàn法fǎ，你nǐ马mǎ上shàng就jiù能néng把bǎ这zhè个gè表biǎo排pái出chū来lái：一yī，第dì一yī对duì胜shèng利lì之zhī数shù当dāng然rán是shì（2 ，1 ）。对duì方fāng不bù论lùn怎么me拿ná，剩shèng下xià的de你nǐ都dōu能néng一yī把bǎ抓zhuā尽。二èr，比bǐ1 ，2大dà的de数shù轮lún到dào了le3 。3+序xù数shù2=5 ，（3 ，5 ）就jiù是shì第dì二èr对duì数shù。下xià一yī个gè轮lún到dào4 ，4+3=7，（4 ，7 ）就jiù是shì。三sān，以yǐ此cǐ类lèi推tuī。要yào是shì第dì1 ，2 ，……，n-1对duì数shù都dōu排pái好hǎo了le。那nà第dìn对duì中zhōng的deA数shù，就jiù是shì前qián面miàn没méi用yòng过guò的de最zuì小xiǎo自zì然rán数shù。把bǎ它tā加jiā上shàng序xù数shùn ，就jiù得dé到dàoB数shù。为wèi什shén么me这zhè样yàng拿ná必bì胜shèng，说shuō来lái话长zhǎng，就jiù不bù多duō说shuō了le。（张zhāng景jǐng中zhōng）