称球问题

12个球和一个天平，现知道只有一个和其它的重量不同，问怎样称才能用三次就找到那个球？（注意此题并未说明那个球的重量是轻是重，所以需要仔细考虑) 首先证明，如果有三个球P1,P2,P3，满足，要么P1较重，要么P2,P3中有一个较轻，并且有2个标准球，则质量不同的那个可以用一次天平找出。事 实上，取P1,P2与标准球比较，如果平衡则P3为较轻，如果P1,P2质量之和大于标准球则P1为较重的球，如果P1，P2质量之和小于标准球则P2为 较轻的球。同理可得，P1,P2,P3满足要么P1较轻，要么P2,P3中有一个较重的情况同样可以一次找出非标准球。 先分成三批（标记为Ａ、Ｂ、Ｃ组），每批4个，取Ａ，Ｂ两批称量。如果平衡，则质量不同的球在Ｃ组，可以用两次称量找出（先取两个与标准球作比较，如果平 衡再在余下的两个中取一个与标准球作比较，如果不平衡，则在其中取一个与标准球作比较。）如果不平衡（不妨假定Ａ组轻于Ｂ组），则Ｃ组为标准球。将A，B 排列如下 １２３４ Ａ○○○○ Ｂ○○○○ 取A1,A2,B1（A'组）与A3,A4,B4（B'组）分别放在天平两边称量。如果A'组轻于B'组，则要么A1,A2中有较轻的，要么B4为较重 的，由前面的证明知，第三次称量可以找出质量不同的那个。如果A'组重于B'组，则要么B1为较重的，要么A3,A4中有较轻的，同样可以找出质量不同的 那个。如果平衡，则B2,B3中有较重的，分别放在天平两端即可找出较重的